가산 무한 vs 비가산 무한 — 유리수의 가산성과 조밀성, 그리고 “모래알 vs 모래사장 vs 실수선” 비유

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가산 무한 vs 비가산 무한 — 유리수의 가산성과 조밀성을 헷갈리지 않기

자연수·정수·유리수는 가산, 실수(무리수 포함)는 비가산. 그런데 왜 유리수는 “조밀”한데도 가산일까? 교실에서 바로 쓰는 시각 자료와 함께 정리합니다.

바로가기 1. 핵심 정의 2. 집합의 크기 비교 3. 유리수가 가산인 이유 4. (0,1)만이 아니라 전체 ℚ가 가산인 이유 5. 조밀성 vs 가산성 6. “모래알 vs 모래사장 vs 실수선” 비유 7. 수업용 요약 & 질문거리

1) 핵심 정의

정의 가산 무한(countably infinite)이란, 집합 $A$가 자연수 집합 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$과 1:1 대응(전단사)을 이룰 수 있다는 뜻입니다. 즉, “끝은 없지만 하나씩 번호를 붙일 수 있는” 무한이에요.

대조 비가산 무한(uncountable)은 어떤 방법으로도 $\mathbb{N}$과 1:1 대응을 만들 수 없는, 번호 붙이기 자체가 불가능한 정도의 무한입니다.

2) 집합의 크기(기수) 비교

집합	예	가산성	핵심 아이디어
$\mathbb{N}$	자연수	가산	자기 자신과 1:1
$\mathbb{Z}$	정수	가산	$0,1,-1,2,-2,\dots$ 순서
$\mathbb{Q}$	유리수	가산	분수 격자/유리수 나무로 나열 가능
$\mathbb{R}$	실수(무리수 포함)	비가산	칸토어 대각선 논법

3) 유리수가 가산인 이유 (격자/나무로 “번호표” 붙이기)

① 분수 격자 아이디어

모든 유리수는 $p/q\ (p\in\mathbb{Z},\, q\in\mathbb{N})$ 꼴. 쌍 $(p,q)$를 격자 점으로 보고, $|p|+q$가 같은 “대각선” 단위로 훑으면, 결국 모든 쌍에 자연수 번호를 붙일 수 있습니다(약분 중복만 제거).

직관: 가산 × 가산 = 가산. 즉, $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$은 가산 → $\mathbb{Q}$도 가산.

② 유리수 나무(Calkin–Wilf Tree)

루트 $1/1$에서 규칙 left: a/(a+b), right: (a+b)/b 로 자식을 만들면, 모든 양의 유리수가 중복 없이 단 한 번씩 등장합니다. (0과 1 사이만이 아니라 $1$보다 큰 수, 예: $6/5$도 포함!)

※ 교재·블로그에서 (0,1)만 그리는 건 단지 “그림이 깔끔해서”입니다.

4) “(0,1)만 가산인가요?” — 전체 ℚ도 가산인 이유

핵심은 “가산개의 가산 집합의 합집합은 가산”이라는 성질입니다.

1. 각 정수 $n$에 대해 구간 $(n,n+1)\cap\mathbb{Q}$는 $(0,1)\cap\mathbb{Q}$와 1:1 대응이 가능하므로 가산.
2. $\mathbb{Q}=\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\big((n,n+1)\cap\mathbb{Q}\big)$ 이고, $\mathbb{Z}$ 자체도 가산.
3. 따라서 $\mathbb{Q}$ 전체가 가산.

정리: 범위를 넓혀도(예: $(-100,100)$, 혹은 전체) 유리수의 가산성은 변하지 않습니다.

5) “조밀성(density)”과 “가산성(countability)”은 전혀 다른 성질

조밀성(위상적 성질)

“아무 두 실수 사이에도 유리수가 있다.” 즉, 빈틈이 없을 정도로 촘촘히 끼어 있다는 배치 성질.

가산성(기수적 성질)

“자연수와 1:1 대응 가능” → 하나씩 번호를 붙일 수 있는가의 문제.

중요한 결론

유리수는 조밀하지만 여전히 가산이고, 실수는 조밀이면서 비가산입니다. “조밀하다 ⇒ 비가산”은 틀린 명제!

6) 수업 비유 — 모래알 vs 모래사장 vs 실수선

(A) 모래알(입자) — 개별적으로 “번호표”를 붙일 수 있음 → 가산 또는 유한

(B) 모래사장(위치의 연속) — 좌표로 보면 선분/영역의 모든 점 → 비가산

(C) 실수선 — 선분의 모든 점(좌표) 자체가 대상 → 비가산

핵심 구분: “실제로 다 못 세겠다(물리적 한계)” ≠ “원리적으로 번호를 붙일 수 없다(수학적 비가산)”.
모래알: 이론적으로는 1개, 2개… 세어 번호표 가능(=가산).
모래사장 위의 좌표 전체: 선분의 모든 점 = 실수 집합(=비가산).

7) 수업용 요약 & 체크리스트

요약 표

구분	가산성	조밀성	설명
자연수 $\mathbb{N}$	가산	×	번호 그대로 1:1
정수 $\mathbb{Z}$	가산	×	$0,1,-1,2,-2,\dots$
유리수 $\mathbb{Q}$	가산	○	분수 격자/유리수 나무로 나열 가능
실수 $\mathbb{R}$	비가산	○	대각선 논법: 목록화 불가

오개념 바로잡기

• “조밀하다 → 비가산” ❌ → 유리수는 조밀하지만 가산입니다.
• “(0,1)의 유리수만 가산” ❌ → 전체 $\mathbb{Q}$도 가산(가산 합집합 성질).
• “0과 1만 다루면 6/5는 빠진다” ❌ → 유리수 나무는 양의 유리수 전체를 포괄(6/5 포함).

토론 질문

1. 모래알 하나하나를 “객체”로 보면 가산인데, 모래사장 위 “위치” 전체를 보면 왜 비가산일까?
2. (0,1)∩ℚ가 가산이면, 어떻게 전체 ℚ의 가산성을 이끌어낼 수 있을까? (힌트: 정수로 쪼개기)
3. 실수선의 임의 두 점 사이에도 유리수/무리수가 모두 있는 “조밀성”은 어떻게 시각화할 수 있을까?

교사용 심화 힌트 (클릭)

• $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$의 가산성: 대각선 순회(또는 pairing function) → $\mathbb{Q}$ 가산.
• Calkin–Wilf 트리: 레벨 순회(BFS)로 양의 유리수 전부를 중복 없이 나열.
• $\mathbb{R}$ 비가산: 칸토어 대각선 논법. 유리수의 비율은 0(측도/범밀도 관점)은 고급 주제이니 선택적으로.

마무리

결론: 유리수의 “조밀성(촘촘함)”과 “가산성(번호 가능성)”은 다른 축의 개념입니다. 유리수는 조밀하지만 가산이며, 실수는 조밀하면서 비가산입니다. “모래알(입자) ↔ 가산”, “모래사장/실수선(연속) ↔ 비가산” 비유로 학생들이 직관을 잡으면 오개념을 크게 줄일 수 있습니다.

원하시면, Calkin–Wilf 트리 간단 시뮬레이터나 칸토어 대각선 애니메이션을 포함한 한 장짜리 HTML도 만들어드릴게요. 수업용 클릭 데모에 최적화해서요.

태그: 가산무한 비가산무한 유리수 실수 조밀성 칸토어 Calkin–Wilf

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