유클리드 원론 공리

유클리드 『원론』의 5개 공리, 정말 기하학의 출발점일까?

수학 시간에 “유클리드의 5개 공리”라는 말을 한 번쯤은 들어본 적이 있다.
하지만 이 공리가 대수학과도 관련된 것인지,
아니면 순수하게 기하학에서 출발한 것인지에 대해서는
막연하게 알고 있는 경우가 많다.

결론부터 말하자면,
유클리드 『원론』의 5개 공리는 철저하게 기하학에서 출발한 공리이며,
오늘날 우리가 말하는 대수학의 공리와는 성격이 다르다.

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1. 유클리드 『원론』은 어떤 책인가?

유클리드의 『원론(Elements)』은 기원전 약 300년경에 집필된 책으로,
수학 역사상 최초로 공리 → 정의 → 정리 → 증명의 구조를 명확히 갖춘 저작이다.

이 책의 목적은 단순하다.

“기하학을 몇 개의 자명한 사실에서 출발해
논리적으로 쌓아 올릴 수 있는가?”

이 질문에 대한 답이 바로 **공리(postulates)**이다.

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2. 유클리드가 사용한 두 종류의 출발점

『원론』에는 사실 두 종류의 기본 가정이 등장한다.

① 공통개념(Common Notions)

모든 수학에 공통적으로 적용되는 논리 원칙
→ 오늘날로 치면 “논리적 상식”

예를 들면

• 같은 것과 같은 것은 서로 같다
• 같은 것에 같은 것을 더하면 결과도 같다
• 전체는 부분보다 크다

이것들은 기하학 전용이 아니라,
모든 수학적 사고의 바탕이 되는 원리이다.

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② 기하학적 공리(Postulates)

공간과 도형에 대해 그릴 수 있다, 연장할 수 있다와 같이
직접적인 기하학적 행위를 가정한 명제들

👉 우리가 흔히 말하는 “유클리드의 5개 공리”는 바로 이것이다.

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3. 유클리드 『원론』의 5개 공리

이제 핵심인 5개 공리를 하나씩 살펴보자.

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공리 1

두 점을 잇는 직선을 그을 수 있다

→ 임의의 두 점 사이에는 직선이 존재한다는 가정
기하학의 가장 기본적인 출발점이다.

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공리 2

선분은 한쪽 방향으로 무한히 연장할 수 있다

→ 직선은 끝이 없는 존재임을 인정하는 공리
‘유한한 도형’에서 ‘무한한 공간’으로 나아가는 문이다.

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공리 3

한 점을 중심으로 하고 한 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다

→ 원이라는 도형의 존재를 허용하는 가정
거리 개념이 기하학적으로 처음 등장하는 지점이다.

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공리 4

모든 직각은 서로 같다

→ 각의 크기에 대한 최초의 보편성 선언
측정 이전에 “같음”을 인정하는 공리다.

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공리 5 (평행선 공리)

한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어질 때,
그 점을 지나며 주어진 직선과 만나지 않는 직선은 하나뿐이다

이 공리는 다음과 같은 특징을 가진다.

• 직관적이지 않다
• 다른 공리보다 훨씬 길다
• 수천 년 동안 “증명하려는 시도”가 계속되었다

그리고 결국 밝혀진 사실은 이것이다.

이 공리는 다른 공리로부터 증명되지 않는다.

이 깨달음이 비유클리드 기하학의 탄생으로 이어진다.

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4. 그렇다면 대수학의 공리는 어디에 있을까?

중요한 점은 이것이다.

• 유클리드 시대에는 대수학이 독립된 학문이 아니었다
• 수의 성질도 선분의 길이, 비례, 면적으로 표현했다
• 즉, 대수학적 사고를 기하학으로 설명했다

오늘날의

• 군의 공리
• 환의 공리
• 체의 공리

는 모두 훨씬 이후에 등장한 현대 수학의 산물이다.

유클리드 『원론』에는
“대수학의 공리 5개” 같은 것은 존재하지 않는다.

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5. 정리하며

한 문장으로 정리하면 다음과 같다.

유클리드 『원론』의 5개 공리는
기하학에서 출발한 공간과 도형에 대한 가정이며,
수학을 공리적으로 전개하려는 최초의 시도였다.

이 공리 체계는 이후

• 평행선 공리 논쟁
• 비유클리드 기하학
• 현대 공리주의 수학

으로 이어지며 수학의 지형 자체를 바꾸게 된다.

지금 우리가 배우는 수학은
이 다섯 문장에서 출발했다고 해도 과장이 아니다.

유클리드 제5공리와 삼각형 내각의 합

그리고 “180°가 아닐 수도 있다”는 생각을 한 사람들

중학교 수학에서 가장 익숙한 정리 중 하나는 이것이다.

삼각형의 세 내각의 합은 180°이다.

너무 당연해 보이지만, 이 사실은 사실상 유클리드 기하학의 심장부에 해당한다.
그리고 이 명제가 성립하는 이유는 유클리드 『원론』의 다섯 번째 공리,
즉 평행선 공리에 깊이 의존하고 있다.

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1. 삼각형 내각의 합 180°는 어디에서 나오는가?

유클리드 기하학에서
삼각형의 내각의 합이 180°임을 증명할 때 반드시 사용하는 가정이 있다.

바로 이것이다.

한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어지면,
그 점을 지나며 주어진 직선과 만나지 않는 직선은 하나뿐이다.
(유클리드 제5공리)

이 공리를 사용하면

• 삼각형의 한 꼭짓점에서 밑변에 평행한 직선을 긋고
• 엇각과 동위각의 성질을 이용해
• 세 각이 한 직선 위의 각(180°)으로 정렬됨을 보일 수 있다.

즉,

삼각형 내각의 합 = 180°
⟺ 평행선 공리를 받아들인 기하학

이라는 관계가 성립한다.

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2. “왜 꼭 180°여야 하지?”라는 의문

수학자들은 오래전부터 이런 질문을 던졌다.

• 왜 다섯 번째 공리만 유독 길고 복잡한가?
• 혹시 나머지 공리들로부터 증명할 수 있는 건 아닐까?
• 만약 이 공리가 틀리다면, 기하학은 어떻게 될까?

이 질문은 2000년 가까이 지속된 도전으로 이어졌다.

대표적인 의문 제기 수학자

• 지롤라모 사케리(G. Saccheri, 1667–1733)
• 요한 하인리히 람베르트(J. H. Lambert, 1728–1777)

이들은 모두

“평행선 공리가 거짓이라고 가정하면 모순이 생길 것이다”
를 보이려 했지만,

놀랍게도 모순은 나타나지 않았다.

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3. 삼각형 내각의 합이 180°보다 작은 기하학

이제 결정적인 전환점이 등장한다.

핵심 질문

“삼각형의 내각의 합이 180°보다 작아도
논리적으로 일관된 기하학이 가능할까?”

이 질문에 ‘가능하다’고 답한 사람들

🔹 니콜라이 로바쳅스키 (N. Lobachevsky, 1792–1856)

🔹 야노시 보야이 (J. Bolyai, 1802–1860)

이들은 서로 독립적으로 다음 사실을 증명했다.

삼각형의 내각의 합은 180°보다 작을 수 있으며,
그 차이는 삼각형의 크기에 따라 달라진다.

이 기하학은 오늘날

👉 쌍곡기하학(Hyperbolic Geometry)

이라고 불린다.

특징

• 평행선은 하나가 아니라 무수히 많다
• 삼각형이 클수록 내각의 합은 더 작아진다
• “180° − (내각의 합)”은 면적과 직접적으로 연결된다

흥미롭게도
가우스(Gauss) 역시 이 기하학을 이해하고 있었지만,
논란을 우려해 생전에 발표하지 않았다.

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4. 삼각형 내각의 합이 180°보다 큰 기하학

그렇다면 반대는 어떨까?

180°보다 큰 경우는 가능할까?

이 질문에 답을 준 사람

🔹 베른하르트 리만 (B. Riemann, 1826–1866)

리만은 다음과 같은 기하학을 제시했다.

삼각형의 내각의 합은 180°보다 클 수 있다.

이 기하학은

👉 타원기하학(Elliptic Geometry)

또는 구면기하학으로 알려져 있다.

특징

• 평행선이 존재하지 않는다
• 직선은 “가장 짧은 곡선(대원)”으로 해석된다
• 지구 표면에서의 삼각형이 대표적인 예
  • 북극–적도–적도 삼각형의 내각합 > 180°

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5. 세 기하학의 비교

기하학삼각형 내각의 합평행선

유클리드 기하학	180°	하나
쌍곡기하학	180°보다 작음	무수히 많음
타원기하학	180°보다 큼	없음

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6. 정리하며

이제 우리는 이렇게 말할 수 있다.

삼각형의 내각의 합이 180°라는 사실은
절대적인 진리가 아니라,
‘유클리드 제5공리를 받아들였을 때의 결과’이다.

그리고 이 한 가지 공리를 의심한 용기가

• 비유클리드 기하학을 낳았고
• 현대 수학과 물리학(특히 상대성이론)의 공간 개념을 바꾸었다.

교과서 속 180°는 끝이 아니라,
기하학이 갈라지는 갈림길이었다.