수학과 음계

출처 : 패트리샤 반스 스바니, 토머스 E. 스바니

        <<한권으로 끝내는 수학>>,

        오혜정 역,작은 책방.2013년.500쪽

         금성출판사 교과서 수학I

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그리스의 수학자이자 철학자인 피타고라스는

최초로 피타고라스 정리를 증명하였을 뿐만 아니라

'천구의 음악'을 발견한 사람으로 여겨진다.

 

그는 음표의 음높이가

음을 내는 현의 길이에 따라 달라진다는 것을 알아내고,

간단한 비율을 갖는 음정을 개발할 수 있게 하였다.

 

현알기를 연주할 때, 연주자가

현 길이의 중간 부분에 압력을 가하면

그 현의 음표보다 한 오타브 높은음표의 음이 된다.

 

즉, 음질은 같지만 음높이가 더 높다.

어떤 현이 매번 한 옥타브씩 올라가면

이전 음표의 2배 진동수로 진동하며,

이것은 1:2(현:옥타브)라는 수학적 빈진동수 비로 표현 된다.

 

피타고라스는 완전5도(2:3)와 같은 또 다른 비율도 알아내어

음악적 조화에 대한 수학적 원리를 개발하였다.

 

피타고라스 음계의 공리

(1) 주어진 현의 길이를 1/2배 하면 원래 음보다 완전8도 높은 음이 딘다.

(2) 주어진 현의 길이를 2/3배 하면 원래 음보다 완전5도 높은 음이 된다.

 

 

* 바흐의 평균율 음계의 세상

 

1) 1옥타브를 구성하고 있는 12개 음

도레미파솔라시도의 1옥타브에는

피아노의 흰건반이 각각 대응하고 있다.

 

도레미파솔라시도가 대응하고 있는

흰건반 사이에는 5개의 검은건반이 있고,

1옥타브는 12개의 반음으로 이루어져 있다.

 

따라서 낮은 도에서 한 건반씩 오른쪽으로 가면

반음씩 높아지면서 총 12개의 음이 나고

13번째 반음이 높은 도가 된다.

 

 

 

2) 진동수에 의하여 결정되는 음정

 

음정의 차이는

진동수의 차이에 따라 생기는 것으로

음정이 높아질수록 진동수가 많아진다.

 

1옥타브의 음의 간격에서는

진동수가 정확히 2배가 되므로

낮은 도의 진동수를 n번이라고 하면

1옥타브 높은 도의 진동수는 2n번이 된다.

 

반음정씩 음정을 올릴 때마다 일정한 비율 r로 진동수가 증가하므로

 

n × r × r × ... × r = 2n , 즉 n × (r^12) = 2n 이다. (^은 거듭제곱)

 

따라서 r^12 = 2 가 된다.

 

위의 방정식  

r^12 = 2 로 구성된 음계를 평균율이라고 한다.

 

구글 이미지 검색 캡쳐

 

16세기 평균율 음계의 이론이 대두되었고,

18세기 바흐(Bach, J. S., 1658~1750)가

<<평균율 클라비어 곡집>>에서 조옮김이 자유로운 평균율 음계를 이용하여

다양한 피아노 변주곡을 작곡함으로써 평균율 음계의 세상이 시작되었다.

이로 인하여 바흐를 음악의 아버지라고 부르게 되었다.

 

구글 이미지 검색 캡쳐